| Авторы |
Рыскина Лилия Леонидовна, кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математического анализа, Томский государственный педагогический университет (Россия, г. Томск, ул. Киевская, 60), E-mail: ryskina@tspu.edu.ru
Зубцова Анастасия Сергеевна, студентка, Томский государственный педагогический университет (Россия, г. Томск, ул. Киевская, 60), E-mail: zubtzova.n@yandex.ru
Шавенкова Юлия Олеговна, студентка, Томский государственный педагогический университет (Россия, г. Томск, ул. Киевская, 60), E-mail: shavenkova1998@mail.ru
|
| Аннотация |
Актуальность и цели. Задача нахождения особых (сингулярных) решений дифференциальных уравнений типа Клеро в частных производных представляет интерес при изучении различных преобразований нелинейных уравнений математической физики таких, например, как преобразования Лежандра. Уравнения данного типа являются значимыми в прикладных задачах теоретической физики. Например, в квантовой теории поля существует связь особого решения уравнения типа Клеро с эффективным действием для составных полей. В теории с составными полями однопетлевое эффективное действие определяется уравнением, содержащим неизвестный функционал и его вариационные производные, которое имеет вид уравнения типа Клеро. Целью настоящей статьи является нахождение условия существования особых решений для дифференциальных уравнений типа Клеро в частных производных, а также получение сингулярных решений для обратных тригонометрических функций. Поиск особых решений уравнений типа Клеро в частных производных для конкретных функций остается мало изученным и является перспективным научным направлением.
Материалы и методы. Представлен метод отыскания сингулярных решений уравнения типа Клеро в частных производных со специальным видом зависимости функции от частных производных на примере обратных тригонометрических функций. Суть метода заключается в сведении задачи нахождения частных производных искомой функции к задаче нахождения сверток частных производных искомой функции с фиксированными параметрами. Описанный метод применим для нахождения сингулярных решений уравнений типа Клеро, когда функция от производных искомой функции имеет специальный вид.
Результаты. Сформулирован критерий существования сингулярного решения дифференциального уравнения в частных производных типа Клеро для случая, когда функции от производных представляют собой обратные тригонометрические функции от линейных комбинаций частных производных. Полученные в настоящей работе сингулярные решения вычислены для случая произвольного количества переменных и являются основными результатами работы. Отмечается, что во всех рассмотренных случаях для данного выбора функции в уравнении удается разрешить систему уравнений, определяющую особое решение.
Выводы. Дифференциальные уравнения типа Клеро представляют собой нелинейные уравнения в частных производных первого порядка и являются обобщением известного обыкновенного дифференциального уравнения Клеро. В работе описана проблема нахождения особого решения дифференциального уравнения в частных производных типа Клеро для случая, когда функции от производных представляют собой одну из обратных тригонометрических функций. Обсуждаются условия существования особых решений и структура функции от производных, для которой описанный метод применим. Из курса дифференциальных уравнений известно, что сингулярные решения уравнений типа Клеро в частных производных не всегда существуют. Поэтому вопрос о нахождении конкретных функций от частных производных в уравнении, для которых особые решения существуют, остается открытым и представляет собой перспективное направление для дальнейшего изучения.
|
| Список литературы |
1. Zyryanova, O. V. On singular solutions to Clairaut-type equations / O. V. Zyryanova, V. I. Mudruk // Modern Physics Letters A. – 2019. – Vol. 34, № 32. – P. 1950258–1950269.
2. Zyryanova, O. V. Singular solution of Clairaut equations / O. V. Zyryanova, V. I. Mudruk // Russian Physics Journal. – 2018. – Vol. 61, № 4. – P. 635–642.
3. Walker, M. L. Cho-Duan-Ge decomposition of QCD in the constraintless Clairauttype formalism / M. L. Walker, S. Duplij // Phys.Rev. – 2015. – Vol. 92 (D). – Р. 064022.
4. Lavrov, P. M. Legendre transformations and Clairaut-type equations / P. M. Lavrov, B. S. Merzlikin // Physics Letters. – 2016. – Vol. 756 (B). – P.188–193.
5. Рахмелевич, И. В. О решениях многомерного уравнения Клеро с мультиоднородной функцией от производных / И. В. Рахмелевич // Извeстия Саратовского университета. Новая серия. Сер.: Математика. Механика. Информатика. – 2014. – Т. 14, № 4. – С. 374–381.
6. Duplij, S. A new Hamiltonian formalism for singular Lagrangian theories / S. Duplij // Particles and Fields. ser. Nuclei. – 2011. – Т. 969, № 34–39.
7. Zyryanova, O. V. One-Loop Effective Action with Composite Fields in Gauge Theories / O. V. Zyryanova, O. V. Kolesnikov // Russian Physics Journal. – 2017. – Vol. 61, № 10. – P. 126–131.
8. Lavrov, P. M. Loop expansion of the average effective action in the functional renormalization group approach / P. M. Lavrov, B. S. Merzlikin // Phys. Rev. – 2015. – Vol. 8 (D92). – P. 085038.
9. Рыскина, Л. Л. Дифференциальное уравнение типа Клеро в частных производных со степенной функцией / Л. Л. Рыскина, Л. А. Жидова // Вестник Бурятского государственного университета. Математика, информатика. – 2019. – № 1. – С. 41–48.
10. Рыскина, Л. Л. Решение дифференциальных уравнений Клеро в частных производных с логарифмической функцией / Л. Л. Рыскина, Л. А. Жидова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2019. – № 2 (50). – С. 28–35.
11. Рыскина, Л. Л. О сингулярных решениях многомерного дифференциального уравнения типа Клеро со степенной и показательной функциями / Л. Л. Рыскина // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. – 2019. – Т. 23, № 2. – С. 394–401.
|
